四、戴学发轫

    在江永的指点下，戴震原先颇有根柢的学问完全成熟，他开始高屋建领地考虑贯通群经的内在逻辑，从而开始了他的学术发初期。欲提挈群经纲目，首先考虑到的是，吸取江永自然科学与经学相结合的精神，从而酝酿成第一部著作《筹算》一卷。筹算就是用算筹作计算，是古代的一种计算方法。《汉书·律历志》云：“算法，用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。”①每个用于计算的竹签子叫作算，又叫筹，运用乘法口诀时借助于算筹作计算，就是筹算的一种。筹算对古代数学概念的发展和数系的扩充产生过积极的影响，分数与正负数的引进和表示法，很大程度上得力于筹算。戴震的《筹算》，当然远不是“九九八十一”之类，而是包括乘法、除法、分数运算、平方、开方、勾股定理、天文历法等，因而是借古法之名行近代科学之实的基础数学著作。清初梅文鼎曾著《筹算》一书（1678 年），引用西法。戴震的《筹算》就方法而论，大体上是继承梅氏的。戴震后来对原书增改时又改为《策算》，是因为“策取可书，不曰筹而曰策，以别于古筹算，不使名称相乱也”②。西方学者还认为，戴震《策算》一书“可能是受了十七世纪中叶传入中国的、创造对数计算法的耐普尔计算的影响”③。戴震二十二岁时的这部著作，是乾隆年间的基础数学的最重要的著作之一，代表了那个时代的学术水平。戴震自己说过：“凡学九章者必发初于此。”①这里所说的“九章”说指数学，可见《策算》是基础数学。在指导思想上，戴震弘扬古代数学，讲析近代科学，阐发中国的数学，比较外国的研究成果，得出若干发人深省的结论。值得注意的是，戴震还立足于治经而研治数学，因而把自然科学和传统经学结合起来。段玉裁曾说：“先生乾隆甲子（1744 年）作《策算》，略举经籍之资于算者，推衍成帙，正与古人用意不谋而合也。”《策算》共一卷，重点讲了乘法，除法和开平方。全书开头有图示，基本含义是变古代筹算为策算，甩掉那正反面都有数目字的竹筹算子，图示其数。这些填有数目字的图格，推而广之犹后来的数学用表，可用来计算和查对。这反映了计算方法上的进步，在数学史上是有意义的。图示的数学含义是：自然数1-9 分别乘以1，×2，×3??×9，共得九个图示，第十个空格图示，表示自然数1—9 还可乘以9 以上的任意自然数N，第十一个图示是自然数1—9 各自的平方数的图格的连缀。这十一个图示既是古代筹算的精义，也是戴著《策算》的起点。图示之后，对乘、除、开平方详述之。体例是：讲述基本概念，举经书、近代天文历法等例证以说明乘、除、开平方的运用。如乘法的基本概念的说明，重在对图示的含义及其应用的说明，而使用的术语都是中国式的、传统的术语。例如把被乘数叫“法”，乘数叫“实”，他说：“凡两数相乘，任以一为实，一为法。”在图示中，“列实从右向左横书之。法有几位，则用几策，列策从上而下。”这一使用传统术语的做法。在后来的《勾股割圆记》等著作中一直保持着，今人不易读懂，即使当时，因传入西法，也叫人费解，应该说，在术语的使用上，是有可改进之处的，但其中式传统术语下表达的数学概念的内涵是完全正确、无可指责的。这犹如牛顿的微积分和莱布尼兹的微积分那样，牛顿用传统的文字表达叙述之，莱氏用代数式dy、dx 等等，牛顿的微积分概念原理是完全正确的，在表达方式上后来为莱氏代数式表达取代。

    ① 《汉书》四，中华书局本956 页。

    ② 《策算序》，见《戴震集》，上海古籍出版社，1980 年版147 页。

    ③ 戴密微《中国和欧州最早在哲学方面的交流》，见《中国史研究动态》1982 年3 期。

    ① 见《戴震年谱》、《戴震集》，上海古籍出版社，1980 年版456 页。

    ② 同上，475 页。

    戴震用《策算》中的乘法验证《易》卦、轻重权衡等，以成其“举其例略，取经史中资于中算者”之初衷。从学理逻辑上看，戴震的这一做法是以策算之法验证文献经典和实际使用中的数量关系，是策算之法的应用，同时，也是以经史验证策算之法的正确性，从而使策算数学法、经典文献记载及实际使用史实统一起来，这一思路，也是合乎戴震唯物主义的学理逻辑应与事理逻辑相统一这一原则的。仅以《易》卦的抽象数量关系看，是合策算的乘法原理的。《易·系辞上》：“大衍之数??乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，当期之日，二篇之策，万有一千五百二十，当万物之数也。”①戴震用策算法计之曰。

    如《易》“二篇之策”，万有一千五百二十，凡老阳策数四九三十六，老阴策数四六二十四，上下经阳爻阴爻各一百九十二，其策数各若干术，以一百九十二为法，用第一第九，第二策以三十六为实，视第三第六行之数，并之得阳爻六千九百一十二策，又以二十四为实，视第二第四行之数，并之得阴爻四千六百八策。①13800310_0028_0戴震以策算计之所得之数完全正确，验之《易》卦密合②。当然《易》卦象概念的本身是不科学的，以数量关系来说明现象世界的二元对待的阴阳关系的做法有类于古希腊毕达哥拉斯学派的唯心主义，但戴震就其数量而验证之，使数学计算方法与文献记载的数量关系统一起来。戴震的计算，实际上是对文献的一个数学方法的注释，其用意在于使人深信不疑，以加强经典文献的权威性。

    在除法中，戴震说明其含义以后，举述其用法有古代历法、古代容器、乐律、轻重计算等。在讲到古代历法时，戴震将中西回历详作比较，得出中回历为历法先驱的结论。他首先比较了回回历和四分历③，找到了两者相较之误差④。如果将当① 见《十三经注疏》，中华书局影印本80 页。

    ② 乾卦一爻有三十六策（阳卦），坤卦一爻有二十四策（阴卦）。戴震此处用策算法计之，实际含义是：36×192=619224×192=46086912＋4608=11520 验之密合。③ 四分历为汉章帝元和二年编䜣、李梵等所造。四分历沿袭刘歆为解释《春秋》所造的三统历，也以十九年为一章（计235 个月），一年之长则复用古法为三百六十五又四分之一日（三统历一年为三百六十五又一千五百三十九分之三百八十五日），故称四分。

    ④ 《策算》云：“回回历西域默狄纳（按：Medina 地名，阿拉伯之都会，回教第二圣地，此处指阿拉伯）国王马哈麻（按：穆罕默德）所作，日周分一千四百四十刻九十六，每刻十五分，分六十秒，以下皆六十递析，三百六十五日为平年，增一日为闰年，一百二十八年而闰三十一日，是为三百六十五日小余一百二十八分之三十一，较四分历一百二十八年闰三十二日有一日之差，用一千万为日分，置三十一为实，以一百二十八为法。除之得小余二百四十二万一千八百七十五分，四分历小余二百五十万，大于此七万八千一百二十五分。”

    时已传入中国的西方历法与我国大约成书于西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》相比则又完全一致，戴震不无自豪地说：明万历三十八年以后，至崇祯末西洋人庞迪峨、熊三拔等所译《新法历书》云：“西法岁三百六十五日四分日之一，每四岁之小馀成一日，因而置闰年。百年中为整年七十五，闰年二十五，共三万六千五百二十五日，此即《周髀算经》三百六十五日谓之经岁，馀四分日之一，积四年而增一日也①。

    至于西人第谷测量春分时刻而定岁实所得的岁实数，与回回历相比较，其小余数不差分秒，而回回历与四分历误差甚少。戴震认为西人天体测量的数据与我国四分历数据也是很接近的。他说：《新法历书》又云，当（明）神宗十六年戊子第谷测春分时刻，以前弘治元年戊申西城白耳瓦所测相较，定岁实三百六十五日二十三刻三分四十五秒，考其与